Eindeutige Analytische Funktionen

Die eindeutigen analytischen Funktionen knnen von verschiedenen Gesichtspunkten aus untersucht werden. Die in der vorliegenden Arbeit zur Darstellung gelangenden Fragen gruppieren sich um ein groes Hauptproblem. Einige allgemeine Bemerkungen ber diese zentrale Fragestellung sollen hier vorausgeschickt werden. Wir denken uns ein gegebenes analytisches Funktionselement un beschrnkt fortgesetzt. Angenommen, da die so entstehende analytische Funktion w = w (z) eindeutig ist, existiert ein schlichtes Gebiet G mit z nachstehenden Eigenschaften. 1. Jedem inneren Punkt z von G entspricht ein und nur ein Element z von rationalem Charakter der Funktion w(z). 2. Jeder Randpunkt z* von G ist eine wesentliche Singularitt z von w(z). Falls G die ganze geschlossene Ebene umfat (elliptischer Fall), z so ist w (z) eine rationale Funktion. Schliet man diesen einfachsten Sonderfall aus, so hat man zwei Flle zu unterscheiden, je nachdem G z einfach oder mehrfach rusammenhngend ist. Wir beschrnken uns auf den erstgenannten Fa}! und haben dann weitere zwei Mglichkeiten zu bercksichtigen: die Berandung r von G ist entweder ein Punkt z z (parabolischer Fall) oder ein Kontinuum (hyperbolischer Fall). Das Gebiet G wird durch die Funktion w = w (z) auf eine ber der z w-Ebene ausgebreitete RIEMANNSche Flche G .konform abgebildet. to Die Umkehrfunktion z = z(w) von w(z) ist eine auf dieser Flche G to eindeutige und wegen der Eindeutigkeit von w (z) einwertige Funktion, d. h. den Mittelpunkten von zwei verschiedenen Elementen von z(w) sind stets zwei verschiedene Punkte z zugeordnet.