Semisimpliziale algebraische Topologie

In diesem Buch werden einige Gebiete der algebraischen Topologie, die man heute grtenteils zum klassischen Bestand rechnet, mit semi simplizialen Methoden in einheitlicher Weise dargestellt. Der Begriff der semisimplizialen Menge ist dabei von grundlegender Bedeutung. Er wurde um 1950 von EILENBERG und ZILBER bei der Untersuchung der singulren Homologietheorie geprgt. Seine Ntzlichkeit fr die alge braische Topologie, und zwar nicht nur fr die Homologietheorie, erwies sich bald darauf durch die Arbeiten von DOLD, KAN, MACLANE, MOORE und POSTNIKOV. Durch sie wurde das vorliegende Buch angeregt. Die semisimpliziale Menge steht zwischen der Topologie und der Algebra. Einerseits ist ihre Struktur so "algebraisch", da man direkt Homologie-und Homotopiegruppen fr sie definieren und allgemeine Zusammenhnge zwischen ihnen beweisen kann. Andererseits haben viele topologische Begriffe, wie z. B. die Faserung oder die Homotopie ein semisimpliziales Gegenstck. Der Zusammenhang zwischen der Topologie und der semisimplizialen Theorie beschrnkt sich nicht auf diese Analogie: Es gibt einen Funktor S von der Kategorie der topo logischen Rume in die Kategorie der semisimplizialen Mengen, der die topologischen Begriffe in die entsprechenden semisimplizialen ber fhrt. "Semisimpliziale algebraische Topologie" bedeutet am Beispiel der singulren Homologietheorie : Man ordnet dem Raum X seine semi simpliziale Menge SX zu, definiert die Homologie von SX als singulre Homologie des Raumes X und folgert die Eigenschaften der singulren Homologietheorie aus denen der Homologie semisimplizialer Mengen. In dieser Weise werden die Homotopietheorie, die Homologie-und Kohomologietheorie semisimplizial entwickelt.