Additive Zahlentheorie

Bereits seit lngerer Zeit hat sich die additive Zahlentheorie als gesonderter Zweig innerhalb der Zahlentheorie herausgebildet; aber erst in den letzten Jahrzehnten hat dieses Gebiet neue Antriebe erhalten. In der klassischen additiven Zahlentheorie waren die Untersuchungs objekte im wesentlichen solche Fragestellungen, die an ganz spezielle Zahlenmengen geknpft sind, wie etwa das GOLDBAcHsche oder das WARINGSche Problem. Diese bei den Probleme waren es aber auch, die den Ansto zu einer neuen Entwicklung in der additiven Zahlentheorie gaben, als 1930 SCHNIRELMANN in seiner fundamentalen Arbeit "ber additive Eigenschaften von Zahlen" [lJ einen neuen Zugang zu den ge nannten Problemen fand. SCHNIRELMANN entwickelte nmlich zunchst eine Theorie, die ganz von der speziellen Natur der Primzahlen bzw. der k-ten Potenzen absah und sich allgemein auf Mengen natrlicher Zahlen bezog. Jeder solchen Menge wird eine reelle Zahl, die "Dichte" zuge ordnet, die in gewissem Sinn ein Ma dafr ist, welcher Anteil aus der Gesamtheit aller natrlichen Zahlen der gegebenen Menge angehrt. An Stelle der arithmetischen Natur der Zahlenmenge tritt also ein in dieser Weise zu verstehender metrischer Gesichtspunkt. Indem ferner noch die Summe solcher Mengen eingefhrt wurde, zeigte sich, da bereits in groer Allgemeinheit wesentliche Aussagen gemacht werden konnten. In Anschlu an SCHNIRELMANN hat diese allgemeine Theorie der Zahl mengen immer neue Impulse erhalten; somit schien fr den vorliegen den Bericht ziemlich zwangslufig eine grobe Gliederung durch die Stichworte "Summe", "Dichte", bzw. "spezielle Mengen" gegeben zu sein.