Stochastische Matrizen

Name: Stochastische Matrizen
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In der Anfngervorlesung "Lineare Algebra" lernt der Student ein umfang reiches System von Begriffen und Ergebnissen kennen. Auf die Bedeutung dieser Theorie fr die ganz"e t1athematik wird er zwar oft hingewiesen, aber vorgefhrt werden meist nur Anwendungen aus der Geometrie. Das vorliegende kleine Heft ist er Versuch, ein anderes Gebiet fr die Motivierung der Anfngervorlesung zu erschlieen, nmlich die Theorie der stochastischen Prozesse mit endl~ch vielen Zustnden in matrizen theoretischer Behandlung. Unsere Darstellung steht zwischen den sehr elementar gehaltenen Bchern (mitunter mit dem Titel "Finite Mathema tics"), die zum Teil fr Nichtmathematiker geschrieben sind und nur Elemente der Linearen Algebra verwenden, und den allgemeinen Theorien der stochastischen Prozesse, welche dem endlichen Spezialfall oft wenig Raum widmen. Sie sttzt sich weitgehend auf die Betrachtung der Eigen werte von stochastischen Matrizen. Obwohl die Bestimmung der Eigenwerte nicht direkt ein Teil des Problems ist, scheint uns das Studium der Eigenwerte den besten Aufschlu ber das Verhalten der Potenzen einer stochastischen Matrix zu geben. (Wir sind uns dessen bewut, da diese Methode freilich fr stochastische Prozesse mit unendlich vielen Zustn den vllig versagt. ) Nach der Errterung der Problemstellung und einigen Beispielen in 1 werden in 2 alle spter bentigten Aussagen ber die Eigenwerte von stochastischen Matrizen hergeleitet. Darauf folgen dann in 3 leicht die Konvergenzstze. In 4 behandeln wir weitere Stze ber die Eigen werte von stochastischen Matrizen, die jedoch spter kaum mehr verwen det werden.

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