Der Quotienten-Differenzen-Algorithmus

Im Anschluss an eine praktische Anwendung des BO-Algorithmus (Biortho gonalisierungs-Algorithmus von C. LANCZOS [4], [5]1) machte mich Herr Prof. E. STIEFEL, ETH, auf das Problem aufmerksam, die hheren Eigenwerte direkt aus den sogenannten Schwarzsehen Konstanten zu bestimmen, das heisst ohne den Umweg ber die Orthogonalisierung. Auf diese Anregung hin entwickelte der Verfasser einen Algorithmus, der die gestellte Aufgabe lst. Allerdings gab bereits A. C. AITKEN [1] eine Methode an, welche haupt schlich zur Auflsung algebraischer Gleichungen gedacht war, aber auch die Bestimmung hherer Eigenwerte aus Schwarzsehen Konstanten gestattet. 2 Ferner stammt von C. LANCZOS ein Algorithmus ) zur Bestimmung des charak teristischen Polynoms einer Matrix aus Schwarzsehen Konstanten. berdies entwickelte J. HADAMARD in seiner Dissertation [2] eine Methode zur Bestim mung der Pole einer durch ihre Potenzreihe gegebenen Funktion. Er hat damit, wie 1 zeigen wird, auch das eingangs erwhnte Eigenwertproblem gelst. Wenn hier das schon gelste Problem nochmals aufgegriffen wird, so geschieht dies deshalb, weil der entwickelte Algorithmus eine Reihe von weiteren An wendungen gestattet und insbesondere auch wertvolle Beziehungen zur Ketten bruchtheorie vermittelt3). Die Arbeit gliedert sich in drei Kapitel, von denen sich die Kapitel I und n mit Theorie und Anwendungen befassen, whrend III eine Ausdehnung des QD-Algorithmus auf Vektoren behandelt. Schliesslich folgt ein Anhang ber verwandte Methoden (insbesondere die LR-Transformation). Die Kapitel I, n, In sind einzeln bereits in der ZAMP erschienen'), doch ist zu beachten, dass I und n zum Teil erhebliche Vernderungen erfahren haben.