Begrndung der Funktionentheorie auf Alten und Neuen Wegen

Unter "Begrndung der Funktionentheorie" verstehen wir die auf mglichst elementarem Weg gewonnene Darstellung einer Funktion f(z) == u(x, y) + iv(x, y) von z == x + yi durch gewhnliche Potenzreihen, wenn ber f(z) gewisse mglichst elementare Voraussetzungen gemacht werden. Diese knnen sehr verschiedener Art sein. Whrend aber wohl alle Lehrbcher der Funktionentheorie nur einen der beiden "klassi schen" Wege verfolgen, bei denen die Existenz der Ableitung f'(z) (GOURSAT) oder deren Existenz und Stetigkeit (CAUCHY) den Ausgangs punkt bildet, werden hier auer jenen beiden noch vier andere Wege bis zu dem genannten Endziel gebahnt. Einer von ihnen (MORERA. 1901, 26) wird hauptschlich nur aus historischem Interesse durchgefhrt. Die drei anderen rhren in der vorliegenden Gestalt vom Verfasser her und gehen von geringeren Voraussetzungen aus als GOURSAT. Nur einer von ihnen war schon in der Schrift "Kurvenintegrale und Begrndung der Funktionentheorie", Springer-Verlag 1948, ent halten. Wichtige Teile der Funktionentheorie beginnen erst nach der Be grndung, wenn man also schon im Besitz der Potenz reihen fr f (z) ist. Auf diese Teile gehen wir nicht mehr ein, da wir ja nicht ein "Lehrbuch der Funktionentheorie", sondern gewissermaen nur den Anfang eines solchen auf sehr verschiedenen Wegen liefern wollen. Abschnitt A bringt Vorkenntnisse, die unmittelbar oder mittelbar wirklich benutzt werden, und zwar mit Beweisen der angefhrten Stze. Auch werde ausdrcklich betont, da auer Kreisen keine gekrmmten ebenen Linien und ber solche erstreckten Integrale bei uns auftreten.