Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren im Hilbertraum und elliptischer Differentialoperatoren

In diesem Lehrbuch wird der Spektralsatz fr selbstadjungierte Operatoren aus dem Resultat der Linearen Algebra ber die Diagonalisierung Hermitescher Matrizen hergeleitet. Dabei werden Lebesgue-Stieltjes-Integrale verwendet und der Auswahl- sowie der Konvergenzsatz von Helly ber monotone Funktionen bereitgestellt. Wir konstruieren die Spektralschar durch eine technisch aufwndige Approximation, wobei die Stieltjes-Umkehrformel im Zentrum des Beweises steht. Ein Ergebnis hiervon ist, dass selbstadjungierte Operatoren nicht nur ein diskretes, sondern auch ein kontinuierliches Spektrum besitzen. Die auftretenden Streueigenwerte knnen hierbei nicht durch Variationsmethoden gewonnen werden. Dann wenden wir uns der zentralen Frage zu, welche elliptischen Differentialoperatoren eine selbstadjungierte Fortsetzung besitzen und somit im Geltungsbereich des Spektralsatzes liegen. Hier unterscheiden wir zwischen stabilen elliptischen Differentialoperatoren auf beschrnkten Gebieten und denen auf dem ganzen Raum, wie etwa dem Schrdingeroperator. Auch Laplace-Beltrami-Operatoren und der Schwarzsche Operator fr Minimalflchen werden im obigen Sinne als selbstadjungiert erkannt. Am Ende dieses Buches geben wir eine Einfhrung in die Strungstheorie selbstadjungierter Operatoren. Hier weisen wir die analytische Abhngigkeit der Spektralschar vom Strungsparameter nach. Dieses Werk zur Spektraltheorie ist insbesondere fr das fortgeschrittene Mathematik- und Physikstudium geeignet, Kenntnisse in der Funktionalanalysis und der Theorie elliptischer Differentialgleichungen werden vorausgesetzt.