Quadratische Formen und Orthogonale Gruppen

Aus der Arithmetik der binren quadratischen Formen, die Gau in abgeschlossener Form in seinen Disquisitiones Arithmeticae entwickelte, erwuchsen zwei Disziplinen, die Lehre von den quadra tischen Formen beliebiger Variablenzahl auf der einen Seite und die .-\rithmetik der algebraischen Zahlkrper und weiter die der hyper komplexen Systeme auf der anderen. Noch im Jahre 1898, als P. Bachmann seine gro angelegte "Arithmetik der quadratischen Formen" (I. Abt. Leipzig 1898, II. Abt. Leipzig 192:1) schrieb, hielten sich beide im Umfang und in der Wertschtzung der Mathematiker die Waage. In den nachfolgenden Jahren nderten sich die Verhlt nisse grundlegend; die letztgenannte Disziplin nahm deutlich die Vor rangstellung ein. Die Ursache hierfr war die Tatsache, da es gelang, die gesamte Forschung auf dem Gebiet der Zahlkrper und Algebren im Grunde einer einzigen zentralen Aufgabe zu unterstellen: dem Auf bau dieser Gebilde aus elementaren Bausteinen. Es unterliegt keinem Zweifel, da eine so geartete Problemstellung der Frage nach dem Sinn und wesen des Zahlbegriffs nher kommt als die Gewinnung spezieller Einzelresultate. Erst die Arbeiten von H. Hasse, E. Hecke und C. L. Siegel in den letzten Jahrzehnten haben auch auf dem Gebiet der quadra tischen Formen einer hnlichen Wendung zum Grundstzlichen hin zum Durchbruch verholfen, die sich hier nur langsam vorbereitet hatte. Die Primzahlen erweisen sich heute hier wie bei den Zahlkrpern als der Schlssel zum Verstndnis der ganzen Theorie. Es ist das Ziel des vor liegenden Buches, einen weiteren Leserkreis mit diesen neuen Gedanken vertraut zu machen.