Die innere Geometrie der metrischen Rume

Die innere Geometrie einer Flche ist die Lehre von denjenigen Eigenschaften, die bei isometrischen Abbildungen ungendert bleiben, also nur von ihrer ersten Fundamentalform abhngen. Sie wurde von C. F. GAUSS durch die Entdeckung begrndet, da das Produkt der Hauptkrmmungsradien einer Flche eine isometrische Invariante ist. B. RIEMANN dehnte diese Theorie in seiner Habilitationsschrift auf mehr dimensionale und damit gleichzeitig auf abstrakte Mannigfaltigkeiten aus. Whrend man zunchst nur das Studium solcher Mannigfaltigkeiten in Betracht zog, deren Bogenelement durch die Quadratwurzel aus einer quadratischen Differentialform gegeben ist, entwickelte P. FINSLER in seiner Dissertation die innere Geometrie auf der Grundlage eines all gemeinen Bogenelementes, eine Mglichkeit, die bereits B. RIEMANN erkannt hatte. Seit den klassischen Untersuchungen von J. HADAMARD ber Flchen konstanter negativer Krmmung und von D. HILBERT ber die Existenz von Extremalen bei Variationsproblemen setzte sich die Erkenntnis immer mehr durch, da ein groer Teil der Methoden, insbesondere diejenigen, welche in der Differentialgeometrie im Groen entwickelt worden sind, nur die topologische und metrische Struktur der Mannigfaltigkeiten, nicht aber ihre Differenzierbarkeitsstruktur be ntigen. Der von FREcHET geschaffene Begriff des metrischen Raumes ermglichte es, die innere Geometrie auf einer von Differenzierbarkeits voraussetzungen freien Grundlage zu stellen. Zunchst stand jedoch die Topologie der metrischen Rume im Vordergrund des Interesses. Erst mit K. MENGER setzte ein systematisches Studium der isometrischen Invarianten ein. Inzwischen ist eine umfangreiche Literatur entstanden. Die Hauptergebnisse sind in den drei Bchern von A. D. ALEXANDROW[6J, L. M. BLuMENTHAL [1J und H.