Grundlagen der Geometrie

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der schwcheren Formulierung von Hilbert (1956). Es wird gezeigt, dass dieses Axiom genau die Definition einer multiplikativen Untergruppe des Krpers der Inzidenzebene ist. Ein Punkt liegt nicht zwischen zwei anderen (mit ihm kollinearen) Punkten (bzw. zwei Punktpaare trennen sich nicht in der projek tiven Formulierung) genau dann, wenn das Doppelverhltnis ein Element der Untergruppe ist. Umgekehrt wird das Axiomensystem durch die Angabe einer beliebigen multiplikativen Untergruppe befriedigt. Ein vollstndiges Axiomen system der Anordnung erreicht man, falls man durch ein zustzliches Axiom die grsste eigentliche Untergruppe, zum Beispiel die mit Index 2 im Fall einer ungeraden Charakteristik, auswhlt. Im Teil 2. 5 wird gezeigt, dass das schrfere Paschsche Axiom genau die Untergruppe mit Index 2 aus whlt. Im Kapitel 3 wird die Kongruenzrelation (eine euklidische Metrik) durch die gleichen Axiome wie im ersten Teil des Buches (aber ohne die Annahme ber die Beschrnktheit derEichkurve) zu der vollstndigen Inzidenzebene des ersten Kapitels (also unabhngig von der Anordnung) hinzugefgt. Im Teil 3. 3 wird gezeigt, dass dieses Axiomensystem fr die Ebenen mit einer un geraden Charakteristik vollstndig ist, wobei das Axiom 3. 2 zwar etwas schwcher als im ersten Teil des Buches formuliert werden muss, indem die Existenz von zwei inkommensurablen Eichkurven gestattet wird. Der wesent liche Teil des Beweises ist das Theorem 3. 7 von Segre (1954, 1955). Im Teil 3.

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