Finite-Volumen- und Mehrgitter-Verfahren fr elliptische Randwertprobleme

Zum Kontext dieses Buches Die numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen beinhaltet im allgemeinen die Lsung groer bis sehr groer Gleichungssysteme. Bei dreidimensionalen Problemen z. B. sind mehrere Millionen Unbekannte keine Seltenheit, und obwohl die Rechenleistung der strksten Computer in den letzten Jahrzehnten exponentiell angestiegen ist, knnten viele praxis relevante Probleme heute nicht gelst werden, wren die Numeriker nicht bei der Entwicklung effizienter Algorithmen hnlich erfolgreich gewesen. Zu den bemerkenswertesten Fortschritten auf diesem Gebiet zhlt die Entwicklung adaptiver Mehrgitter-und Multilevelverfahren, deren Erfolg auf der Verschmelzung zweier leistungsfhiger Konzepte beruht: der Kombination adaptiver Diskretisierungstechniken mit schnellen Mehrgitter- bzw. Multilevellsern. Die Anwendung adaptiver Diskretisierungstechniken dient zunchst dazu, die Anzahl der Unbekannten und damit die Dimension des zu lsenden Gleichungssystems mglichst gering zu halten. Wurden frher zur Diskretisierung partieller Differentialgleichungen in erster Linie gleichmig strukturierte Rechteckgitter verwendet, so ist man heute durch den Einsatz ge eigneter Fehlerschtzer in der Lage, die Diskretisierung - ausgehend von einem relativ groben Anfangsgitter und einer entsprechend groben Nherungslsung - schrittweise an die aktuel le Nherungslsung anzupassen, bis die gewnschte Genauigkeit erreicht ist. blicherweise wird dazu das aktuelle Diskretisierungsgitter lokal verfeinert, und zwar an solchen Stellen, wo aufgrund entsprechender Fehlerabschtzungen eine hhere Genauigkeit zu erwarten ist, z. B. in der Nhe von Singularitten, Grenzschichten, einspringenden Ecken, etc. Bereiche, in denen die Lsung sichals hinreichend glatt herausstellt, bleiben unverfeinert oder knne- etwa bei zeit abhngigen Anwendungen - sogar wieder vergrbert werden.